Estudio de probabilidades mediante el lanzamiento de dados y monedas

Esta es una breve explicación sobre probabilidades mediante un par de ejercicios prácticos que nos pueden ayudar a comprender mejor el tema. Por ejemplo, ¿cuál es probabilidad de obtener un determinado resultado (número) al lanzar dos dados?


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Como he mencionado en la descripción, veremos un par de ejercicios prácticos y sencillos para entender el tema de las probabilidades. Primeramente debemos comprender ¿qué es probabilidad?

Definición

La probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece. Y la teoría de la probabilidad se usa extensamente diversas áreas para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

¿Cuál es la probabilidad de ... ?

Esta es la típica formulación de una pregunta para resolverlo mediante datos estadísticos obtenidos luego de un análisis de probabilidades, de tal forma que los dos ejercicios que veremos aquí, serán formulados de esta manera.

Ejercicio: Lanzamiento de monedas

Este primer ejercicio se basa en el supuesto de que deseamos saber la probabilidad de obtener algunas combinaciones posibles al lanzar unas monedas al aire. Por ejemplo, para introducirnos al ejercicio, ¿si lanzo una moneda, cuál es la probabilidad de que caiga en "cara"?

Fácilmente podríamos decir que es tan sólo una moneda y tiene sólo dos lados: cara y sol (o escudo o uno o cara o cruz), de modo que la probabilidad de obtener cara es del 50% y sol del 50% también. El cálculo es sencillo porque tenemos un sólo elemento con dos posibles estados, pero qué pasa si tenemos 4 monedas y las preguntas son:

  • Suceso 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y dos soles?
  • Suceso 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y tres soles?

En este caso necesitamos utilizar algunos métodos y cálculos en los que tenemos que pensar por un poco más de tiempo.

Empezamos calculando los casos posibles o la cantidad de combinaciones al lanzar las monedas (nuestro espacio muestral): tenemos 4 monedas con dos caras cada una. lo que nos da como resultado 16 posibles casos (2 ^ 4).

Utilizaremos un diagrama de árbol (usado para representar los posibles resultados de experimento aleatorio) donde iremos agregando los posibles estados de las monedas por cada lanzamiento.

En este diagrama cada rama representa un estado o posibilidad (cara o sol), y estas a su vez sirven como nodos para las siguientes ramas de los posteriores lanzamientos. Representaremos cara como C y sol como S, además L1M para el lanzamiento de la primera moneda y así sucesivamente.

Para construir el árbol, sólo debemos poner los posibles estados (C o S) del elemento (moneda), a partir del primer lanzamiento desplegaremos más ramas para representar los estados posibles al aumentar la cantidad de monedas. Cada combinación es el estado del lanzamiento actual concatenado con el o los lanzamientos anteriores.

Resolviendo el Suceso 1:

Si tomamos en cuenta que la sumatoria de las probabilidades debe ser igual a la unidad (1), en el primer lanzamiento, por ejemplo, puede caer la moneda en cara o sol, es decir, 50% de probabilidad para cada cara, esto es igual a 0.5.

Pero, al ser 4 monedas, la probabilidad de cada caso reduce, siendo ahora de 0.0625. Este resultado lo obtuvimos mediante la fórmula:

(0.5) ^ 4 = 0.0625

Para comprobar este dato, podemos multiplicar la probabilidad (0.0625) por la cantidad de posibles casos (16), y el resultado deberá ser 1.

Ahora que ya tenemos la probabilidad de cada caso podemos dar respuesta a la primera pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y dos soles?

Buscamos dos caras (CC) y dos soles (SS), de modo que los casos favorables son 6.

CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC y SSCC.

Ahora sólo debemos multiplicar la probabilidad (0.0625) por la cantidad de casos favorables (6) y luego por 100 para obtener el porcentaje:

0.0625 X 6 = 0.375 => 37.5%

Respuesta: La probabilidad de obtener dos caras y dos soles en el lanzamiento de las cuatro monedas es de 37.5%.

Resolviendo el Suceso 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y tres soles?

La solución la obtenemos siguiendo los mismos anteriormente descritos. Ahora buscamos una cara (C) y tres soles (SSS), por lo que tenemos 4 casos favorables:

CSSS, SCSS, SSCS y SSSC.

0.0625 X 4 = 0.25 => 25%

Respuesta: La probabilidad de obtener una cara y tres soles en el lanzamiento de las cuatro monedas es de 25%.

Ejercicio: Lanzamiento de dados

Ahora procedemos con el siguiente ejemplo, en este caso lo haremos con el lanzamiento de dos dados y analizaremos las probabilidades de obtener ciertos resultados. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de lanzar los dados y...?

  • Que sus caras sumen 8 (A) o que ambas caras sean impares (B)
  • Que sus caras caigan pares (A) y que la suma de sus lados sea 6 (B)
  • Que sus caras caigan pares (A) o que la suma de sus lados sea 6 (B)
  • Que la suma de sus caras sea mayor o igual a 4 y menor o igual a 9 (A) o que la suma de sus caras dé un número par (B)

Como habrás notado, ahora también aplicamos un poco de razonamiento matemático, ya que las sentencias (o preguntas) están compuestas por dos cláusulas.

Este ejercicio lo podríamos representar como un árbol, como en el caso anterior, sin embargo sería muy extenso, ya que quedaría algo así:

Y se nos dificultaría un poco obtener las combinaciones que necesitamos. Por ello, utilizaremos una tabla de combinaciones para ubicar los casos posibles, en esta tabla tendremos en el eje X (filas) los resultados posibles del dado 1 (D1) y en el eje Y (columnas) los del dado 2 (D2). Las intersecciones entre los ejes forman las posibles combinaciones entre los dos dados.

Por ejemplo, lanzamos los dados y obtenemos en el D1 un 3 y en el D2 un 4. La combinación de este lanzamiento la representamos como (3,4). De esta combinación podemos decir que la sumatoria de sus caras es 7 y que una cara es par y la otra impar.

Tabla de posibles combinaciones (espacio muestral):

Como podemos observar tenemos 36 posibles combinaciones, lo podemos comprobar mediante la fórmula 6^2 = 36 (la base 6 elevada al cuadrado ya que son dos dados, si fueran 3 sería 6^3 = 216)

Soluciones (probabilidades):

 

Que sus caras sumen 8 (A) o que ambas caras sean impares (B)

Veamos el conjunto de elementos que caben en la cláusula A (que sus caras sumen 8), las seleccionaré de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo:

(2,6) – (3,5) – (4,4) – (5,3) – (6,2)

Ahora el conjunto para B (que ambas caras sean impares):

(1,1) – (1,3) – (1,5) – (3,1) – (3,3) – (3,5) – (5,1) – (5,3) – (5,5)

Para la primera cláusula tenemos 5 combinaciones de las 36 posibles (5/36) y para la segunda tenemos una proporción de 9/36.

Ahora debemos sumar ambas proporciones (A y B) para calcular la probabilidad (P), pero también debemos restar 2/36 ya que los elementos del conjunto (3,5) y (5,3) se repiten en ambas cláusulas. La fórmula y el resultado quedarían de la siguiente manera:

Las caras suman 8 o ambas son impares en 1 de cada 3 lanzamientos, lo que equivale al 33.33%.

 

Que sus caras caigan pares (A) y que la suma de sus lados sea 6 (B)

Conjunto de A: (2,2) – (2,4) – (2,6) – (4,2) – (4,4) – (4,6) – (6,2) – (6,4) – (6,6)  =>  9/36

Conjunto de B: (1,5) – (2,4) – (3,3) – (4,2) – (5,1)  => 5/36

En esta ocasión en lugar de sumar las proporciones, las restamos, ya que según la teoría de conjuntos esta es una intersección (y) entre A y B.

Las caras caen pares y la suma de sus lados es 6 en 1 de cada 9 lanzamientos, equivalente a 11.11%.

 

Que sus caras caigan pares (A) o que la suma de sus lados sea 6 (B)

Ahora veremos lo inverso del enunciado anterior; con una disyunción (o) en lugar de una intersección (y).

Conjunto de A: (2,2) – (2,4) – (2,6) – (4,2) – (4,4) – (4,6) – (6,2) – (6,4) – (6,6)  =>  9/36

Conjunto de B: (1,5) – (2,4) – (3,3) – (4,2) – (5,1)  => 5/36

Las caras caen pares o la suma de sus lados es 6 en 1 de cada 3 lanzamientos, igual a 33.33%.

 

Que la suma de sus caras sea mayor o igual a 4 y menor o igual a 9 (A) o que la suma de sus caras dé un número par (B)

Conjunto de A: (1,3) – (1,4) – (1,5) – (1,6) – (2,2) – (2,3) – (2,4) – (2,5) – (2,6) – (3,1) – (3,2) – (3,3) – (3,4) – (3,5) – (3,6) – (4,1) – (4,2) – (4,3) – (4,4) – (4,5) – (5,1) – (5,2) – (5,3) – (5,4) – (6,1) – (6,2) – (6,3)

Conjunto de B: (1,1) – (1,3) – (1,5) – (2,2) – (2,4) – (2,6) – (3,1) – (3,3) – (3,5) – (4,2) – (4,4) – (4,6) – (5,1) – (5,3) – (5,5) – (6,2) – (6,4) – (6,6)

La suma de sus caras está entre 4 y 9 o es un número par en 8 de cada 9 lanzamientos, lo que equivale a 88.88%.

Bien, este tema lo he sacado de uno de mis apuntes universitarios, hasta aquí esta publicación sobre el mismo, cualquier error espero sus comentarios para corregirlo y gracias por visitar Politecnia.

Bibliografía

SAEM Thales - Recursos de matemáticas

Mis apuntes universitarios!!!

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